INSTITUTO TECNOLOGICO DE CD. JUAREZ
PROBLEMAS DE FLUJO VISCOSO Y FLUJO EN SUPERFICIES INCLINADAS
Víctor Manuel Félix Rodríguez
06110216
TRANSFERENCIA DE CALOR
RESUMEN
MARZO DEL 2009
Contenido
Problemas de Flujo Viscoso. 3
Procedimiento para plantear y resolver problemas de flujo viscoso. 3
Relación entre el esfuerzo y la velocidad de deformación de los fluidos newtoniano y no newtoniano 4
Fluidos newtonianos. 4
Fluidos no newtonianos. 5
Volumen de control 5
Velocidad de deformación de un fluido. 6
Ecuaciones básicas que describen el flujo viscoso isotérmico. 6
Aplicación de las ecuaciones diferenciales básicas en el planteamiento de problemas de flujo viscoso isotérmico y estacionario. 7
Flujo de una película de líquido que desciende por un plano inclinado. 8
Bibliografía. 11
Problemas de Flujo Viscoso
Procedimiento para plantear y resolver problemas de flujo viscoso
Las reglas generales que deben seguirse para plantear y resolver problemas de flujo, a partir de un esquema físico del sistema, son las siguientes:
1. Se hace un sistema del flujo correspondiente a una región donde se considere que el perfil de velocidad esta desarrollado. En el esquema se representa un volumen de control y se escoge el punto u origen de los ejes de coordenadas.
2. Se escribe un balance de cantidad de movimiento en una sola dirección, en forma de la siguiente ecuación:
Aplicando en el volumen de control de espesor finito y se multiplica cada termino de la ecuación por la magnitud necesaria para transformar el balance de cantidad de movimiento en una expresión que represente un balance de fuerzas.
3. A la expresión resultante del balance de fuerzas se le aplica la definición matemática de la primera derivada se obtiene la correspondiente ecuación diferencial que describe la distribución de los esfuerzos cortantes. Después se integra la ecuación diferencial.
4. En la ecuación integrada se introduce la expresión reologica adecuada de la densidad de flujo de cantidad de movimiento. Con el objetivo de obtener la ecuación diferencial del perfil de velocidad, la cual también se integra.
5. Como resultado de la integración de las ecuaciones diferenciales, se obtienen las expresiones de los perfiles de esfuerzo cortante y de velocidad.
Para entender los pasos anteriores es necesario entender los términos que se manejan, en las siguientes paginas se dar el significado de estas palabras.
Relación entre el esfuerzo y la velocidad de deformación de los fluidos newtoniano y no newtoniano
A continuación se analizaran las formas de expresar la relación existente entre el esfuerzo cortante y la velocidad de deformación de los fluidos en dependencia si el fluido es newtoniano o no newtoniano.
Fluidos newtonianos
Los fluidos reales que satisfacen la ley de Newton se denominan fluidos newtonianos la experiencia práctica demuestra que los gases y líquidos homogéneos no polimerizados se comportan como fluidos newtonianos la viscosidad de los materiales Newtonianos es independiente del gradiente de velocidad y para una sustancia determinada es solo una función de la temperatura y de la presión.
La siguiente ecuación establece la relación existente entre el esfuerzo cortante y la velocidad de deformación para fluidos newtonianos. La velocidad de deformación se expresa en términos de gradiente de velocidad: por tanto, el esfuerzo cortante en coordenadas rectangulares se escribe:
(1)
Esta ecuación constituye un planteamiento más general de la ley de Newton de la viscosidad, y se aplica a los casos complejos de flujo. Cuando un flujo es unidimensional, como es el caso de la película que desciende por un plano inclinado en la dirección Y. la ecuación se reduce a:
(2)
Debe recordarse que para fluidos newtonianos la viscosidad solo es una función de la temperatura y de la presión y, en mezclas homogéneas, depende también de la concentración.
Fluidos no newtonianos
En los fluidos no newtonianos la viscosidad es función de la temperatura, de la presión y del gradiente de velocidad. La mayor parte de los fluidos no newtonianos son sustancias altamente viscosas. A temperatura y presión constante la viscosidad de estos materiales varía con el gradiente de velocidad de distintas maneras de acuerdo a esto los líquidos y pastas no newtonianas pueden ser clasificados como:
a) Seudoplasticos.- Son aquellos líquidos cuya viscosidad disminuye con el incremento del gradiente de velocidad. Estos comienzan a fluir tan pronto se les aplica un esfuerzo cortante.
b) Dilatantes.- En estos líquidos, la viscosidad aumenta con el incremento del gradiente de velocidad. Al igual que los seudoplasticos, comienzan a fluir cuando se les aplican valores de
c) Plásticos Bingham.- son materiales que poseen una estructura determinada, por lo que, para que se comporten como un fluido, es necesario romper esa estructura. Por esta razón, estos materiales comienzan a fluir para un valor de donde es el esfuerzo cortante inicial que se requiere aplicar para destruir la estructura. Una ves que comienzan a fluir, la viscosidad de los Plásticos Bingham disminuye con el aumento del gradiente de velocidad.
Existen sustancias no Newtonianas que al ser sometidas a un gradiente de velocidad constante durante un periodo de tiempo sus viscosidades cambian en el tiempo. Este es el caso de los materiales tixotrópicos en los que la viscosidad disminuye con el tiempo, y los reopecticos, en los que, por el contrario, la viscosidad aumenta con el tiempo.
Volumen de control
Uno de los métodos que se utilizan en ingeniería para analizar un sistema de flujo de fluido, de calor o de intercambio de masa, consiste en establecer una región en el espacio, dentro del sistema en cuestión, a la cual se le aplican las leyes físicas fundamentales con vistas a obtener las ecuaciones que describen los fenómenos que ocurren en el sistema. Esta región, que se caracteriza por tener un volumen constante, se denomina volumen de control, y las superficies que lo limitan, superficies de control.
Figura 1. Sistema de flujo en el que se muestra un volumen de control
La forma del volumen de control depende de la geometría del sistema que se estudia. Así, para sistemas rectangulares, puede adoptar la forma de un cubo o de un paralelepípedo, para sistemas cilíndricos y esféricos, adoptara la forma de un tubo o de una esfera hueca, según sea el caso. En la figura 1 se ilustra un sistema de flujo constituido por un liquido que fluye entre dos laminas solidas paralelas de longitud L y anchura W; y separadas entre si por una distancia pequeña B. el volumen de control, situado en el seno del liquido, tiene un volumen L W .
Velocidad de deformación de un fluido
Al explicar el significado físico de la viscosidad, se dice que la conocida ley de Newton define la viscosidad como una relación entre el esfuerzo cortante y la velocidad de deformación del fluido, pudiendo expresarse este último termino mediante el gradiente de velocidad.
La velocidad de deformación se expresa mediante el gradiente de velocidad. Inicialmente se considera la deformación causada por el esfuerzo cortante aplicado para el flujo unidimensional.
Para el caso de fluidos newtonianos el esfuerzo cortante es proporcional al cambio de la deformación con el tiempo conocido también como velocidad de deformación.
Ejemplo.
Dos láminas planas paralelas y horizontales están separadas una distancia de 8 mm. La lámina superior se mueve hacia la derecha con una velocidad de 0.2 m/s, mientras que la lámina inferior se mantiene estática. Entre las dos láminas se halla un aceite de viscosidad de 800 mPa *s. calcular:
a) El valor del esfuerzo cortante que se establece en el sistema
b) La velocidad local que adquiere el aceite como consecuencia de la transferencia de cantidad de movimiento, en un punto situado a 3 mm de la lámina inferior.
Se aplican las siguientes formulas para llegar al resultado
Los datos del problema son:
Al sustituir estos valores en las expresiones anteriores resulta:
a)
b)
Ecuaciones básicas que describen el flujo viscoso isotérmico
Ecuación de continuidad.- esta ecuación constituye una forma de expresar la ley de la conservación de la masa. Todos los problemas de flujo de fluidos deben satisfacer la ecuación de continuidad.
(3)
Si el régimen del flujo es estacionario el término se anula y la ecuación No.3 se reduce a:
(4)
Si el fluido es incompresible, la densidad es una constante y la ecuación 4 puede escribirse:
(5)
En la siguiente tabla se muestran las expresiones de la ecuacion de continuidad en coordenadas rectangulares, cilindricas y esfericas.
Tabla No.1 Coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas de la ecuación de continuidad
Aplicación de las ecuaciones diferenciales básicas en el planteamiento de problemas de flujo viscoso isotérmico y estacionario
Para plantear problemas de flujo, si el flujo es incompresible y de viscosidad constante, se aplicaran las ecuaciones y condiciones siguientes.
Ecuación de continuidad
Ecuación de movimiento
Ley de Stokes o ley de Newton de la viscosidad
Condiciones iníciales de límite.
Con estas ecuaciones se obtienen las distribuciones de esfuerzos de velocidad y de presión en el sistema de flujo.
Si se trata de un liquido no Newtoniano, se requerirá el modelo reologico necesario en lugar de la relación de Stokes o de la ley de Newton. En este párrafo se estudia la forma de plantear problemas de flujo viscoso mediante la simplificación de las ecuaciones de continuidad y de movimiento, eliminando aquellos términos que se consideran nulos o despreciables para la situación particular que se analiza. Para determinar que termino se elimina, debe conocerse con bastante profundidad, desde un punto de vista físico, el comportamiento de las variables en el sistema, por ejemplo; naturaleza reologica del fluido: régimen de flujo estacionario y no estacionario, laminar o turbulento: fluido compresible e incompresible: componentes de esfuerzo y de velocidad que tienen significación física; fuerzas que actúan sobre el sistema, etc.
Flujo de una película de líquido que desciende por un plano inclinado
Se considerara un flujo isotérmico laminar y estacionario de una película de liquido que desciende por una superficie plana inclinada, la cual forma un ángulo α con respecto a la aceleración de la gravedad. Suponiendo que se trata de un líquido Newtoniano, la viscosidad y la densidad son constantes; la región de longitud L esta lo suficientemente alejada de los extremos de la superficie por los que los llamados efectos finales no afectan la estabilidad del perfil de velocidad dentro de la zona de estudio. En la figura el eje Z es perpendicular al plano del papel la película tiene un espesor pequeño en la dirección x y una anchura B en la dirección Z. el volumen de control también tiene una anchura B y un espesor finito . La fuerza que causa el movimiento del líquido se debe a la componente de aceleración de la gravedad . En la figura también se señala la entrada y la salida de la cantidad de movimiento en el volumen de control. Las direcciones se toman siempre en el sentido positivo de los ejes de coordenadas.
Figura 2. Flujo viscoso isotérmico de una película de líquido que desciende por una superficie solida bajo la acción de la gravedad: a) sistemas de flujo; b) esquema del sistema con el volumen de control y posición de los ejes de coordenadas.
La velocidad máxima de la película se halla en la interface líquido-gas, es decir, para x igual a . Sin embargo en sistemas de flujo mas complejos no resulta tan sencillo determinar en que punto esta la velocidad máxima; en esos casos, se determina su posición mediante el concepto matemático de que el valor máximo o mínimo de una curva se halla donde la tangente sea nula.
En la figura 3 se representan los perfiles de velocidad y de los esfuerzos cortantes. Como se puede observar el perfil de velocidad es parabólico, mientras que el perfil de esfuerzos cortantes es lineal. En la figura se observa que el valor máximo de esfuerzo cortante esta en la interface solido-liquido, es decir para x=0.
El valor de velocidad que se obtiene para cada valor de x se denomina velocidad local o puntual. En los cálculos de ingeniería no es práctico diseñar equipos o sistemas de flujo utilizando los valores de las velocidades puntuales. En estos casos resulta mas conveniente utilizar un valor medio, representativo del perfil de velocidad, que se conoce como velocidad media o velocidad promedio.
Figura 3. Perfiles de velocidad y de esfuerzos cortantes en una película de líquido
Bibliografía
· Severns , W. H. Y Compañeros, Energía Mediante Vapor Aire o Gas
PROBLEMAS DE FLUJO VISCOSO Y FLUJO EN SUPERFICIES INCLINADAS
Víctor Manuel Félix Rodríguez
06110216
TRANSFERENCIA DE CALOR
RESUMEN
MARZO DEL 2009
Contenido
Problemas de Flujo Viscoso. 3
Procedimiento para plantear y resolver problemas de flujo viscoso. 3
Relación entre el esfuerzo y la velocidad de deformación de los fluidos newtoniano y no newtoniano 4
Fluidos newtonianos. 4
Fluidos no newtonianos. 5
Volumen de control 5
Velocidad de deformación de un fluido. 6
Ecuaciones básicas que describen el flujo viscoso isotérmico. 6
Aplicación de las ecuaciones diferenciales básicas en el planteamiento de problemas de flujo viscoso isotérmico y estacionario. 7
Flujo de una película de líquido que desciende por un plano inclinado. 8
Bibliografía. 11
Problemas de Flujo Viscoso
Procedimiento para plantear y resolver problemas de flujo viscoso
Las reglas generales que deben seguirse para plantear y resolver problemas de flujo, a partir de un esquema físico del sistema, son las siguientes:
1. Se hace un sistema del flujo correspondiente a una región donde se considere que el perfil de velocidad esta desarrollado. En el esquema se representa un volumen de control y se escoge el punto u origen de los ejes de coordenadas.
2. Se escribe un balance de cantidad de movimiento en una sola dirección, en forma de la siguiente ecuación:
Aplicando en el volumen de control de espesor finito y se multiplica cada termino de la ecuación por la magnitud necesaria para transformar el balance de cantidad de movimiento en una expresión que represente un balance de fuerzas.
3. A la expresión resultante del balance de fuerzas se le aplica la definición matemática de la primera derivada se obtiene la correspondiente ecuación diferencial que describe la distribución de los esfuerzos cortantes. Después se integra la ecuación diferencial.
4. En la ecuación integrada se introduce la expresión reologica adecuada de la densidad de flujo de cantidad de movimiento. Con el objetivo de obtener la ecuación diferencial del perfil de velocidad, la cual también se integra.
5. Como resultado de la integración de las ecuaciones diferenciales, se obtienen las expresiones de los perfiles de esfuerzo cortante y de velocidad.
Para entender los pasos anteriores es necesario entender los términos que se manejan, en las siguientes paginas se dar el significado de estas palabras.
Relación entre el esfuerzo y la velocidad de deformación de los fluidos newtoniano y no newtoniano
A continuación se analizaran las formas de expresar la relación existente entre el esfuerzo cortante y la velocidad de deformación de los fluidos en dependencia si el fluido es newtoniano o no newtoniano.
Fluidos newtonianos
Los fluidos reales que satisfacen la ley de Newton se denominan fluidos newtonianos la experiencia práctica demuestra que los gases y líquidos homogéneos no polimerizados se comportan como fluidos newtonianos la viscosidad de los materiales Newtonianos es independiente del gradiente de velocidad y para una sustancia determinada es solo una función de la temperatura y de la presión.
La siguiente ecuación establece la relación existente entre el esfuerzo cortante y la velocidad de deformación para fluidos newtonianos. La velocidad de deformación se expresa en términos de gradiente de velocidad: por tanto, el esfuerzo cortante en coordenadas rectangulares se escribe:
(1)
Esta ecuación constituye un planteamiento más general de la ley de Newton de la viscosidad, y se aplica a los casos complejos de flujo. Cuando un flujo es unidimensional, como es el caso de la película que desciende por un plano inclinado en la dirección Y. la ecuación se reduce a:
(2)
Debe recordarse que para fluidos newtonianos la viscosidad solo es una función de la temperatura y de la presión y, en mezclas homogéneas, depende también de la concentración.
Fluidos no newtonianos
En los fluidos no newtonianos la viscosidad es función de la temperatura, de la presión y del gradiente de velocidad. La mayor parte de los fluidos no newtonianos son sustancias altamente viscosas. A temperatura y presión constante la viscosidad de estos materiales varía con el gradiente de velocidad de distintas maneras de acuerdo a esto los líquidos y pastas no newtonianas pueden ser clasificados como:
a) Seudoplasticos.- Son aquellos líquidos cuya viscosidad disminuye con el incremento del gradiente de velocidad. Estos comienzan a fluir tan pronto se les aplica un esfuerzo cortante.
b) Dilatantes.- En estos líquidos, la viscosidad aumenta con el incremento del gradiente de velocidad. Al igual que los seudoplasticos, comienzan a fluir cuando se les aplican valores de
c) Plásticos Bingham.- son materiales que poseen una estructura determinada, por lo que, para que se comporten como un fluido, es necesario romper esa estructura. Por esta razón, estos materiales comienzan a fluir para un valor de donde es el esfuerzo cortante inicial que se requiere aplicar para destruir la estructura. Una ves que comienzan a fluir, la viscosidad de los Plásticos Bingham disminuye con el aumento del gradiente de velocidad.
Existen sustancias no Newtonianas que al ser sometidas a un gradiente de velocidad constante durante un periodo de tiempo sus viscosidades cambian en el tiempo. Este es el caso de los materiales tixotrópicos en los que la viscosidad disminuye con el tiempo, y los reopecticos, en los que, por el contrario, la viscosidad aumenta con el tiempo.
Volumen de control
Uno de los métodos que se utilizan en ingeniería para analizar un sistema de flujo de fluido, de calor o de intercambio de masa, consiste en establecer una región en el espacio, dentro del sistema en cuestión, a la cual se le aplican las leyes físicas fundamentales con vistas a obtener las ecuaciones que describen los fenómenos que ocurren en el sistema. Esta región, que se caracteriza por tener un volumen constante, se denomina volumen de control, y las superficies que lo limitan, superficies de control.
Figura 1. Sistema de flujo en el que se muestra un volumen de control
La forma del volumen de control depende de la geometría del sistema que se estudia. Así, para sistemas rectangulares, puede adoptar la forma de un cubo o de un paralelepípedo, para sistemas cilíndricos y esféricos, adoptara la forma de un tubo o de una esfera hueca, según sea el caso. En la figura 1 se ilustra un sistema de flujo constituido por un liquido que fluye entre dos laminas solidas paralelas de longitud L y anchura W; y separadas entre si por una distancia pequeña B. el volumen de control, situado en el seno del liquido, tiene un volumen L W .
Velocidad de deformación de un fluido
Al explicar el significado físico de la viscosidad, se dice que la conocida ley de Newton define la viscosidad como una relación entre el esfuerzo cortante y la velocidad de deformación del fluido, pudiendo expresarse este último termino mediante el gradiente de velocidad.
La velocidad de deformación se expresa mediante el gradiente de velocidad. Inicialmente se considera la deformación causada por el esfuerzo cortante aplicado para el flujo unidimensional.
Para el caso de fluidos newtonianos el esfuerzo cortante es proporcional al cambio de la deformación con el tiempo conocido también como velocidad de deformación.
Ejemplo.
Dos láminas planas paralelas y horizontales están separadas una distancia de 8 mm. La lámina superior se mueve hacia la derecha con una velocidad de 0.2 m/s, mientras que la lámina inferior se mantiene estática. Entre las dos láminas se halla un aceite de viscosidad de 800 mPa *s. calcular:
a) El valor del esfuerzo cortante que se establece en el sistema
b) La velocidad local que adquiere el aceite como consecuencia de la transferencia de cantidad de movimiento, en un punto situado a 3 mm de la lámina inferior.
Se aplican las siguientes formulas para llegar al resultado
Los datos del problema son:
Al sustituir estos valores en las expresiones anteriores resulta:
a)
b)
Ecuaciones básicas que describen el flujo viscoso isotérmico
Ecuación de continuidad.- esta ecuación constituye una forma de expresar la ley de la conservación de la masa. Todos los problemas de flujo de fluidos deben satisfacer la ecuación de continuidad.
(3)
Si el régimen del flujo es estacionario el término se anula y la ecuación No.3 se reduce a:
(4)
Si el fluido es incompresible, la densidad es una constante y la ecuación 4 puede escribirse:
(5)
En la siguiente tabla se muestran las expresiones de la ecuacion de continuidad en coordenadas rectangulares, cilindricas y esfericas.
Tabla No.1 Coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas de la ecuación de continuidad
Aplicación de las ecuaciones diferenciales básicas en el planteamiento de problemas de flujo viscoso isotérmico y estacionario
Para plantear problemas de flujo, si el flujo es incompresible y de viscosidad constante, se aplicaran las ecuaciones y condiciones siguientes.
Ecuación de continuidad
Ecuación de movimiento
Ley de Stokes o ley de Newton de la viscosidad
Condiciones iníciales de límite.
Con estas ecuaciones se obtienen las distribuciones de esfuerzos de velocidad y de presión en el sistema de flujo.
Si se trata de un liquido no Newtoniano, se requerirá el modelo reologico necesario en lugar de la relación de Stokes o de la ley de Newton. En este párrafo se estudia la forma de plantear problemas de flujo viscoso mediante la simplificación de las ecuaciones de continuidad y de movimiento, eliminando aquellos términos que se consideran nulos o despreciables para la situación particular que se analiza. Para determinar que termino se elimina, debe conocerse con bastante profundidad, desde un punto de vista físico, el comportamiento de las variables en el sistema, por ejemplo; naturaleza reologica del fluido: régimen de flujo estacionario y no estacionario, laminar o turbulento: fluido compresible e incompresible: componentes de esfuerzo y de velocidad que tienen significación física; fuerzas que actúan sobre el sistema, etc.
Flujo de una película de líquido que desciende por un plano inclinado
Se considerara un flujo isotérmico laminar y estacionario de una película de liquido que desciende por una superficie plana inclinada, la cual forma un ángulo α con respecto a la aceleración de la gravedad. Suponiendo que se trata de un líquido Newtoniano, la viscosidad y la densidad son constantes; la región de longitud L esta lo suficientemente alejada de los extremos de la superficie por los que los llamados efectos finales no afectan la estabilidad del perfil de velocidad dentro de la zona de estudio. En la figura el eje Z es perpendicular al plano del papel la película tiene un espesor pequeño en la dirección x y una anchura B en la dirección Z. el volumen de control también tiene una anchura B y un espesor finito . La fuerza que causa el movimiento del líquido se debe a la componente de aceleración de la gravedad . En la figura también se señala la entrada y la salida de la cantidad de movimiento en el volumen de control. Las direcciones se toman siempre en el sentido positivo de los ejes de coordenadas.
Figura 2. Flujo viscoso isotérmico de una película de líquido que desciende por una superficie solida bajo la acción de la gravedad: a) sistemas de flujo; b) esquema del sistema con el volumen de control y posición de los ejes de coordenadas.
La velocidad máxima de la película se halla en la interface líquido-gas, es decir, para x igual a . Sin embargo en sistemas de flujo mas complejos no resulta tan sencillo determinar en que punto esta la velocidad máxima; en esos casos, se determina su posición mediante el concepto matemático de que el valor máximo o mínimo de una curva se halla donde la tangente sea nula.
En la figura 3 se representan los perfiles de velocidad y de los esfuerzos cortantes. Como se puede observar el perfil de velocidad es parabólico, mientras que el perfil de esfuerzos cortantes es lineal. En la figura se observa que el valor máximo de esfuerzo cortante esta en la interface solido-liquido, es decir para x=0.
El valor de velocidad que se obtiene para cada valor de x se denomina velocidad local o puntual. En los cálculos de ingeniería no es práctico diseñar equipos o sistemas de flujo utilizando los valores de las velocidades puntuales. En estos casos resulta mas conveniente utilizar un valor medio, representativo del perfil de velocidad, que se conoce como velocidad media o velocidad promedio.
Figura 3. Perfiles de velocidad y de esfuerzos cortantes en una película de líquido
Bibliografía
· Severns , W. H. Y Compañeros, Energía Mediante Vapor Aire o Gas
